1 30-03-2016 082907 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Hello tutti !Sur un site de maths sur lequel je ne suis pas inscrit yoshi connait depuis peu, perso, je n'aime pas trop l'ambiance qui y règne, ni la façon dont il est modéré, j'ai trouvé cette a, b et c solutions de l'équation [tex]X^3-X-1=0[/tex].Démontrer que pour tout nombre premier [tex]p[/tex], [tex]a^p+b^p+c^p[/tex] est divisible par [tex]p[/tex]Comme il est anti pédagogique de laisser traîner des erreurs, il suffit de remarquer que si c'est vrai pour p = 3, c'est faux pour p = gars sont encore en train de chercher la solution ... De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 2 30-03-2016 105054 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Re,si a, b et c sont solutions, on a [tex]\begin{cases} a+b+c=0 \\ ab+ac+bc = -1 \\ abc=1 \end{cases}[/tex]On a aussi [tex]\begin{cases} a^3=a+1 \\ b^3=b+1 \\ c^3=c+1 \end{cases}[/tex]Donc [tex]a^3+b^3+c^3 = a+b+c+3 =3 \equiv 0 \bmod 3[/tex]Mais [tex]a+b+c^2 = a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ac = a^2+b^2+c^2-2=0 [/tex]Donc [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 2 \bmod 3[/tex]QED De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 3 30-03-2016 180906 Ostap Bender Membre Inscription 23-12-2015 Messages 242 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Bonsoir freddy.[tex]a+b+c^2 = a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ac = a^2+b^2+c^2-2=0 [/tex]Donc [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 2 \bmod 3[/tex]Je ne vois pas en quoi cela infirme que [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 0 \bmod 2[/tex].Ostap Par ailleurs le résultat est vrai. Dernière modification par Ostap Bender 30-03-2016 181519 4 30-03-2016 195250 Terces Membre Inscription 16-07-2015 Messages 466 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Bonsoir, X est un polynôme ? La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1. 5 30-03-2016 205239 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Ostap Bender a écrit Bonsoir freddy.[tex]a+b+c^2 = a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ac = a^2+b^2+c^2-2=0 [/tex]Donc [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 2 \bmod 3[/tex]Je ne vois pas en quoi cela infirme que [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 0 \bmod 2[/tex].Ostap Par ailleurs le résultat est as raison, je m'enduis la tête de cendres ... Quel crétin je fais ... j'avais dans l'esprit de passer de 3 à 5 en utilisant [tex]x^5=x^3+x^2[/tex] pour a, b et c, sommer et ... oublier qu'alors [tex]p = 5[/tex] et rester sur [tex]p=3[/tex].Et donc, comment tu démontres ce résultat ?Je vais chercher, mais comme je pars en sucette ... De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 6 30-03-2016 210942 Fred Administrateur Inscription 26-09-2005 Messages 6 478 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Hello, Je ne suis pas sûr de moi il est un peu tard, mais j'utiliserais la formule du multinome pour exprimer [tex]a^p+b^p+c^p[/tex] comme somme de [tex]a+b+c^p[/tex] et d'un terme qui est divisible par [tex]p[/tex],car les coefficients multinomiaux non-triviaux sont divisibles par [tex]p[/tex].F. 7 31-03-2016 053936 Ostap Bender Membre Inscription 23-12-2015 Messages 242 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... me place dans [tex]\mathbb{F}_p[a,b,c][/tex]. D'après Frobenius, j'ai [tex]a^p+b^p+c^p=a+b+c^p[/tex].Reste à démontrer que les polynômes symétriques en [tex]a,b,c[/tex] prennent des valeurs entières aux racines de [tex]X^3-X-1[/tex].Je me rends compte à l'instant que c'est exactement ce que Fred a écrit...Ostap Bender 8 31-03-2016 064349 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Salut et merci les gars !Je vais faire pénitence et m'impose de commencer par vérifier que j'ai bien compris le problème avant de réfléchir, puis de réfléchir avant d' c'est moi qui vais demander de l'aide ici -Ce que j'ai lu sur le site en question est assez loin de ça, même s'ils s'en rapprochent et le demandeur indique que son prof a eu recours au "petit" Fermat pour conclure rapidement. Ça vous inspire ?Encore merci, shame on me ! De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 9 31-03-2016 072913 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Re,j'ai regardé la solution de Fred, très élégante en effet ! Dernière modification par freddy 31-03-2016 072928 De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 10 31-03-2016 130347 Fred Administrateur Inscription 26-09-2005 Messages 6 478 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... J'aime beaucoup aussi la rédaction de Ostap Bender. C'est là que je vois que je ne suis pas un algébriste! 11 31-03-2016 180429 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Re,je partage bien sûr, mais comme toi, je ne suis pas un algébriste, donc ta solution m'est immédiatement plus qui me plait dans ton approche est que on sait que [tex]a+b+c^p=0[/tex] puisque a, b et c solutions de [tex]X^3-X-1=0[/tex] et que le reste de la division par [tex]p[/tex] de [tex]a+b+c^p[/tex] est nécessairement égal à [tex]a^p+b^p+c^p[/tex] , donc on a immédiatement [tex]a^p+b^p+c^p \equiv 0 \pmod p[/tex].C'est quasiment magique - Dernière modification par freddy 31-03-2016 211934 De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 12 01-04-2016 061724 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Ce qui me plait dans ton approche est que on sait que [tex]a+b+c^p=0[/tex] puisque a, b et c sont les solutions de [tex]X^3-X-1=0[/tex] le reste de la division par [tex]p[/tex] de [tex]a+b+c^p[/tex] est nécessairement égal à [tex]a^p+b^p+c^p[/tex] puisque [tex]p[/tex] on a immédiatement [tex]a^p+b^p+c^p \equiv 0 \pmod p[/tex].C'est quasiment magique - Dernière modification par freddy 01-04-2016 072211 De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 13 01-04-2016 151339 Ostap Bender Membre Inscription 23-12-2015 Messages 242 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Doucement freddy,Je reprends le cas [tex]p=3[/tex].On a [tex]a+b+c^3 = a^3+b^3+c^3 + 3a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+6abc[/tex].Pour pouvoir écrire [tex] \displaystyle a^3+b^3+c^3 \equiv a+b+c^3 \pmod 3[/tex], encore faut-il démontrer que [tex]a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b[/tex] et que [tex]abc[/tex] sont des entiers. Ce n'est pas tout à fait Bender. 14 01-04-2016 151921 Ostap Bender Membre Inscription 23-12-2015 Messages 242 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Une toute petite généralisationSoient [tex]a, b[/tex] et [tex] c[/tex] les solutions de l'équation [tex]X^3-X-1=0[/tex].Démontrer que pour tout nombre premier [tex]p[/tex], et tout entier naturel [tex]n[/tex][tex]a^{p^n}+b^{p^n}+c^{p^n}[/tex] est divisible par [tex]p[/tex].Ostap Bender. 15 02-04-2016 123111 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Ostap Bender a écrit Doucement freddy,Je reprends le cas [tex]p=3[/tex].On a [tex]a+b+c^3 = a^3+b^3+c^3 + 3a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+6abc[/tex].Pour pouvoir écrire [tex] \displaystyle a^3+b^3+c^3 \equiv a+b+c^3 \pmod 3[/tex], encore faut-il démontrer que [tex]a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b[/tex] et que [tex]abc[/tex] sont des entiers. Ce n'est pas tout à fait tu as raison. On sait que [tex]a+b+c = 0[/tex] ,[tex]abc=1[/tex] et que [tex]ab+ac+bc=-1[/tex]A partir de là, on en tire des choses, comme par exemple [tex]a^2b+a^2c+abc=-a[/tex]. On répète avec b et c, on somme et on a [tex]a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b +3= 0[/tex].+ De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 16 09-04-2016 085854 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Salut,une petite question tout de même comment être certain que tous les termes du développement multinomial sont bien des entiers ? J'ai bien des idées, mais ce n'est pas trop ma partie, et n'arrive pas à trouver une preuve ? Merci par avance de faire simple et pédagogique, pas de faire le "jésuite" qui répond toujours à une question par une question - De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 17 09-04-2016 095517 Fred Administrateur Inscription 26-09-2005 Messages 6 478 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Ce n'est pas si facile.... J'ai l'impression qu'il faut regrouper les termes et exprimer les fonctions symétriques des racines en fonction des fonctions symétriques élementaires. Bref, il y a tout de même de l'algèbre là dessous! 18 09-04-2016 102727 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Oui, oui, Fred, je me doute bien. Je cherche juste le domaine de l'algèbre à creuser pour bâtir une preuve et n'ai pas envie de chercher partout comme un chien fou - ce que je fais en ce moment d' que j'ai est la suivante la suite [tex]u_n= a^n+b^n + c^n[/tex]vérifie la relation de récurrence [tex]u_{n+3}=u_{n+1}+u_n[/tex]On sait que [tex]u_0 = 3,\; u_1=0,\;u_2=2,\; u_3=3[/tex] et on déduit en particulier et on a vérifié que[tex]u_4 = 2[/tex] et [tex]u_5 = 3+2=5[/tex] par on prouve que chaque terme de la suite est un nombre entier. Reste à établir que si n est premier, alors u_n est un multiple de déroulé le tapis informatique jusqu'à n = 100 et tout se déroule bien, sauf que bien entendu, ce n'est pas une preuve quelques indications, briques élémentaires, et je me charge du reste. Par exemple, ce n'est pas sans lien avec les corps finis, et leurs extensions, mais je ne sais si c'est la bonne route et quelles intersections la recherche et le upgrading, j'en fais mon affaire, c'est mon "truc" en fait - "never an inch" De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 19 09-04-2016 123912 Fred Administrateur Inscription 26-09-2005 Messages 6 478 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Moi, je n'ai besoin que du fait que les fonctions symétriques en les racines prennent des valeurs divisibilité par p, je l'obtiens par les coefficients binomiaux multinomiaux ici. C'est pas très dur à démontrer que si p est premier, alors [tex]\binom pk[/tex] est divisible par p sauf s'il est trivial...F. 20 09-04-2016 154040 freddy Membre chevronné Lieu Paris Inscription 27-03-2009 Messages 7 457 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Re,Bon sang, mais c'est bien sûr ! Pour les coeffs multinomiaux, c'était ok, le reste ... La culture, c'est ce qui reste quand on a tout oublié !Merci ! De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite. 21 09-04-2016 193520 Ostap Bender Membre Inscription 23-12-2015 Messages 242 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Bonsoir n'y ait pas de malentendu Moi, je n'ai besoin que du fait que les fonctions symétriques en les racines prennent des valeurs ne peux tout de même pas démontrer la proposition que j'ai modifiée Soient [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] et [tex]c[/tex] solutions de l'équation [tex]X^3-\sqrt2X-1=0[/tex].Démontrer que pour tout nombre premier [tex]p[/tex], [tex]a^p+b^p+c^p[/tex] est divisible par [tex]p[/tex]simplement par la divisibilité des coefficients Bender. 22 09-04-2016 205116 Fred Administrateur Inscription 26-09-2005 Messages 6 478 Re Comment le pire peut cotoyer le meilleur ... Je suis bien d'accord avec toi !

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